几何中的圣经:对《几何原本》解读

古希腊是西方文明的发源地,文学,科技,艺术都是从古希腊开始的。古希腊不仅诞生了像苏格拉底,柏拉图,亚里士多德这样的哲学巨匠,也诞生了欧几里得,阿波罗尼奥斯,阿基米德这样的数学大家。他们的著作对人类的文明和科学进步起到了推动作用,影响深远。前面我们已经了解了阿波罗尼奥斯和阿基米德的著作,它们都曾跟随欧几里得的后辈学习,所以在次不能不提欧几里得的著作《几何原本》。欧几里得沉思的图像体现了一个科学工作者专注的光辉形象。

从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制,至公元前30年罗马征服最后一个希腊化国家托勒密王朝的三百余年,史称希腊数学“黄金时代”。这一时期希腊数学的中心亚历山大城,学者云集,先后出现了欧几里得,阿基米德,阿波罗尼奥斯三大数学家,他们的成就标志着希腊数学的巅峰,关于欧几里得生平我们所知甚少,根据记载推断,他早年就学于雅典,公元前300年左右应托勒密一世之邀到亚历山大,成为亚历山大学派的奠基人。

欧几里得写了不少数学,天文学,光学和音乐方面的著作。最重要的莫过于《几何原本》,欧几里得用公理法对当时的数学知识作了系统化,帕索斯费雷拉理论化的总结。《几何原本》全书13卷,卷1提出5条公理,5条公设作为基本出发点。书中给出了119个定义和465条命题及证明,构成了历史上第一个数学公理体系。

《几何原本》是数学史乃至科学史上流传最广,影响最大的著作之一。是早期数学家必读之物。牛顿,爱因斯坦都曾仔细研读,以获取更加丰富的逻辑体系,以下常见的定理就是选自《几何原本》中的命题,我们并对此进行解读。

用三条线段建立一个三角形,那么这三条线段必须满足于任意两条的和大于第三条的条件。

注:a,b,c是给定的线段,这三条线段要建立一个三角形,必须满足任意两条之和大于第三条的条件

这个命题是三角形作图中的必备条件,欧几里得以其中一条线段为半径FD作圆,再在半径上截取另一线段的长度FG,以此端点G为圆心,剩余的一条线段KG为半径作圆,连接FKG就得到了所建立的三角形,在圆中直观的表达了两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。这种作图方法一致沿用至今。

在任何平行四边形中,对角线上两边的平行四边形的补形面积( HDFK= EKGB)相等。

如果一条线段被任意切分为二,以该线段为边的正方形的面积等于两条小线段上的正方形的面积之和再加上两条小线段构成的矩形面积的两倍

其实这个定理的现代形式就是(a+b) =a+ab+2ac+b。a,b为被切分为二的线段,很容易直观的从图上得出这个结论,这就是数形结合的优美之处。

(现代语言描述)ABC为钝角三角形,角BAC为钝角,从B点作BD垂直于CA,交延长线于D。那我说:BC为边的正方形的面积大于BA,AC为边的正方形面积之和,其差为CA与AD为边构成的矩形的两倍。

这个命题的代数形式就是:BC=BA+AC-2CA*AD,朋友们会发现这就是著名的三角形余弦定理a=b+c-2bccosA,欧几里得证明这个定理主要采用的就是毕达哥拉斯定理

同样:如果ABC是锐角,B为锐角,过A点作AD垂直于BC,那我说:AC为边的正方形的面积小于CB,BA为边的正方形的面积之和,其差为CB,BD构成的矩形的两倍。

在卷三种,欧几里得对圆的性质进行了广泛的讨论和拓展,包括圆的弦,割线,切线,
更多精彩尽在这里,详情点击:http://diangeredu.com/,帕索斯费雷拉圆心角的一些定理。如下

首先欧几里得运用反证法,假设两圆相交,交点多于两个,即B,G,F,H,连接交点,连接HB,BH

并作它们的垂直平分线,则交点必是两个圆的圆心,但这是不肯能的,与假设矛盾,命题得证。

这个命题虽然简单,聪明的伙伴们可以联想到椭圆,抛物线等圆锥曲线的性质,任何两个椭圆,抛物线相交交点都不会多于两个。

这是一个比较经典的作图题要求从A点作已知圆BDC的切线,欧几里得首先做已知圆的同心圆AFG,连接AE得到与已知圆的交点D,过D作AE的垂线交AFG于点F,连接FE得到与BDC的交点B,连接AB,即为所求的切线。解法相当的巧妙。

像这样的命题和作图在《几何原本》中随处可见,在此就不一一赘述了,每一个命题都是在前一个命题的基础上不断深入,共有465个命题,涉及三角形,圆,比例,多边形,多面体,数论等。足以显示《几何原本》在数学界的地位,许多大数学家都从中吸取养分,所以它被称为几何中的圣经。可作为任何一个人数学入门的必备教材。

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