毕达哥拉斯:数的世界很迷幻“形数”之舞

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毕达哥拉斯是古希腊的数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)的贵族家庭,自幼聪明好学,曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。

毕达哥拉斯创立的宗教派别把数神秘化,毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原,认为数是万事万物背后起决定性作用的原则,就像悲剧英雄背后起决定性作用的神秘命运一样,连神也无法逃脱宿命。

4和9,象征正义,因为它们是第一个偶数2和第一个奇数3的平方,方方正正滴;

有趣地是,《老子》(四十二章)有云:“道生一,一生二,二生三,三生万物”。“道生一”,是由抽象规则向具体事物的转化。这里的“一”,在我理解,指具体事物的起始状态。

所以老子的“一”不同于毕达哥拉斯的“1”。与毕达哥拉斯的“1”(万物之母)相对应的是老子的“道”(天地母)。顺便查了一下这二位的生辰,想确认优先权,结果没得逞。

两位哲学家几乎在同一时期共存于地球东西两端,毕达哥拉斯(约公元前580-约前500)略年长于老子(公元前571-前471)。

有意思的是,毕达哥拉斯派极为重视数的理论研究,他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子,并由它们排列而成的形状对自然数进行研究。

尤其对形数研究,亦称拟形数、垛积数,是一种与图形有关的数,古希腊毕达哥拉斯学派在研究数论时非常注意形与数的关系,形数便是数与形相结合的一种概念,他们用点子排成三角形、正方形、五边形。这些数字有什么特点呢?

怎么理解正方形数呢,我们用了一条斜线(图中红线)把正方形数分成了两部分,这样是不是就很容易看出一个正方形数是由两个连续的三角形数相加而得:左上方为第(n-1)个三角形数,右下方是第n个三角形数,结果是第n个正方形数。

把形数重新划分成两部分之后,每部分都化成较简单的形数,这是一种很不错的办法。毕达哥拉斯学派知道把正方形数划分成两个连续的三角形数相加,但他们没有再向前迈进。

后来的尼可马修斯(生活在公元100年左右,他的最大成就是把算术和代数进行独立研究,而不依赖于几何。他的著作《算术入门》是一部完全脱离了几何讲法的算术书。重要性类似于欧几里得的《原本》对于几何的重要性。)发展了毕氏学派的研究,他应该是类似地把五边形数也做了类似上面的直线划分,结果,规律显现出来了,如下图所示:

您看出来没有,上图中左侧依然是第(n-1)个三角形数,而右侧正好是第n个正方形数。那好的,我们刚才暂时放下没有解决的五边形数得通项公式,现在可以通过上面的划分得到了:

再把上面那个五边形数的图形放在这里,你可以用上面的公式验证一下,已画出来的前4个五边形数分别是1,5,12,22都是对地。图中没有画出来的第5个五边形数及之后的五边形数都可以从上面的公式轻松求出。

六边形数的通项公式可以通过第(n-1)个三角形数加上第n个五边形数得到:

从k角形数划去一个三角形数,然后继续这样做下去,就可以划分出(k-2)个三角形数,它们全都是第(n-1)个三角形数,都可以用n(n-1)/2表示。当然,最后还要加上一排n个点子(图中最下面一排点子)。于是,k角形数的计算公式就是:

我们都熟知大数学家高斯小时候求1至100所有数字和的故事。高斯是用分组求和的方法取得的答案:他把1 至100的所有数字分成两行,1至50按从小到大的顺序位于第一行,51至100则按从大到小的顺序位于下面一行,如下图所示。

后来,高斯成为19世纪最伟大的数学家,也是因为他善于总结规律,找到更好的解题方法。

其实,高斯求和的问题,也可以借助形数帮我们理解!我们注意观察三角形数,第n个三角形数就是从1加到n的和,那么求1到n的和,我们只要数出第n 个三角形数中有几个点就行了。

显然,这个由两个三角形数拼成的n行(n+1)列点阵,共有n(n+1)个点,那么第n个三角形数有n(n+1)/2个点,于是,前n个数字的求和公式就是:

一旦找到一个公式,其他公式通常会自动地出现在你的眼前。例如,如果把上述公式的两边同时乘以2,就得到了前n个偶数的求和公式:

你一定会很容易想到:有了前n个数字的求和公式,还知道前n个偶数的求和公式,那么前n个奇数的公式不就是上面两个公式的差吗?好主意!不过要注意:这里应该用到前2n个数字的和减去前n个偶数的和,得到的才是前n个奇数的和,即:

当然,这不失为一个充分利用已有结论的好方法!不过,帕索斯费雷拉利用“形数”的思维,对于所有奇数项的求和,还有更为巧妙的理解方式。

如图,这个正方形点阵共包含5×5=25个点。我们也可以换一种方式来数这个点阵中点的个数。从左上角的第一个点开始,依次被3,5,7,9个点包围,即:

如果这个正方形的边长是n,我们就可以把它分成n个大小分别是1,3,5,7,9,…,(2n-1)的┛形区域。于是,我们得出前n个奇数的求和公式:

有人形象地把奇数项求和公式概括为:“天下无双,项数平方!”是不是一下子就住了呢?

如图:每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵,根据图中提供的信息,用等式表示第5个正方形点阵中的规律是 _______

解析:每一个四边形点阵被分成两个相邻的三角形点阵,因此2=1+3,3=3+6,4=6+10,第五个四边形数5就可以写成第4个三角形数10和第5个三角形数15的和,也就是5=10+15。

毕达哥拉斯还给出了形数的有趣性质,比如:两个相邻三角形数之和是正方形数,即

毕达哥拉斯学派的学者甚至将这种数形结合的思想推广到三维空间,从而构造出了立体数.例如,前四个三棱锥数为

“数学是思维的体操”,而思维是意识层面的无形的东西,看不见,摸不着。数学的抽象性、严密性和应用的广泛性就决定了数学课堂是思维训练的“梦工厂”。

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