欧多克斯与比例论

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古希腊先贤柏拉图曾给后人留了一道思考题:如何用均匀有序的运动来描述看起来不规则的行星运动?

他的学生欧多克斯给出了答案:派发更多的天球,让每个行星都被几个同心天球共同带动,与此同时,同心天球的转轴及快慢彼此有别却各自保持均匀。为此,欧多克斯亲自做了一个模型,并且他将自己的猜想用于这个模型,在这个模型里,帕索斯费雷拉他用27个天球模型对包括行星逆行在内的很多天体运动现象给予了简单而直观的描述。

作为第一位试图对行星运动做出数学描述的先贤,欧多克斯的模型虽然在后世被认为无法经受观测考验——人们发现行星的亮度不是恒定的,这意味着它们与地球的距离不是恒定的,欧多克斯的同心天球模型无法对此作出解释。不过这并不意味着欧多克斯的失败,在科学史上,欧多克斯天文学的模型和试验被后来的科学家认为是一种实证精神的萌芽。

欧多克斯曾和古希腊数学全才阿基米德共同对“穷竭法”做了改进和完善,“穷解法”由古希腊的安提芬最早提出,他在研究“化圆为方”问题时,提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。欧多克斯在改进这个理论时将其定义为:在一个量中减去比其一半还大的量,不断重复这个过程,可以使剩下的量变得任意小。而阿基米德对这种方法作出进一步改进:他将其应用到对曲线、曲面以及不规则体体积的研究和讨论上,阿基米德的完善为现代积分学打开了一道隐隐的门。

欧多克斯最伟大的理论研究成果是“比例论”,他的“比例论”是为了清除无理数的发现带来的数学危机而推出的一种方法和理论,对后世实数的构造发挥了不可替代的作用。而“比例论”的出现也和欧多克斯之前对“穷竭法”的研究息息相关。“穷竭法”的理论依据是:给出两个不相等的量,若从较大的量中减去一个大于它的一半的量,再从所得的余量中减去大于这个余量一半的量,并且连续这样进行下去,则必得一个余量小于较小的量。“穷竭法”是“比例论”中重要的理论支柱,但这里提到“从较大的量中减去一个大于它的一半的量”,那么如何保证所减去的量比大量的一半还大呢?这就需要以下的命题:不相等的二量与同一量相比,较大的量比这个量大于较小的量比这个量,反之,这个量比较小的量大于这个量比较小的量。欧多克斯用公理化方法创立了新的比例理论,微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法,被欧几里得《几何原本》第二卷(比例论)收录。比例论是《原本》中十分精彩的一章,它对后人在数学上的研究产生了重大的影响。

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