透过毕达哥拉斯定理看数学美的含义

数学家的模式,就像画家或诗人的模式一样,必须是美的,必须以和谐的方式构建而成,且美的模式需要经过检验,丑陋的将不会持久。”

当我们将数学与画与诗联系起来时,才能感受得到数学之美。换句话说,数学不但是一门科学,同时也是一种艺术。

现代数学视古希腊为发源地。数学一词的英文mathematics源自古希腊语μθημα(máthēma),是指研究数量、结构、变化、空间等概念的一门学科。

早2000多年前,毕达哥拉斯就因为证明毕达哥拉斯定理而闻名于世,并首开数形结合之先河以来,研究数与形就一直是数学的主要内容。

将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形按图1拼成一个边长为a+b的大正方形,得到一个边长为c的内接正方形;然后将4个全等直角三角形按图2进行位置调换,得到边长分别为a、b的两个正方形。在边长为a+b的大正方形面积不变的情况下,去掉4个全等直角三角形,证明c^2=a^2+b^2。

毕达哥拉斯定理在我国又叫勾股定理。我国东汉时期的赵爽也曾有过一个十分漂亮的证明。具体的证明过程是这样的(下图):

将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形按上图拼成一个边长为c的大正方形,里面包含一个边长为(b-a)的小正方形,有c^2=4×(ab/2)+(b-a)^2,化简后得到c^2=a^2+b^2。

毕达哥拉斯和赵爽二人的证明都非常清晰、干净、利落和巧妙,富有美感。至今,毕达哥拉斯定理的证明方法已多达500多种。

毕达哥拉斯定理的500多种证明方法所使用的各种图形足以达到令人炫目的程度。根据毕达哥拉斯定理的基本图形,重复作图,甚至可以得到一棵“枝繁叶茂”的“毕达哥拉斯树”,给人予强烈的视觉冲击以及美的感受。

这样的“树”,可以说亦诗亦画。所以数学家有时真如画家或诗人一般,都是美的创造者。由于毕达哥拉斯定理具有无比的稳定性,至今无懈可击,所以这样的美经得起检验,不管你是否“看见”,它一直都在那里。

可我们不能光顾着欣赏“毕达哥拉斯树”之美,还要看到数学美的含义。“毕达哥拉斯树”不只是用来欣赏的,毕达哥拉斯定理也不只是用于计算,它最大的意义在于揭示了数与直角三角形的三个边之间以及图形之间建立的联系。所以数形结合才是毕达哥拉斯定理最大意义之所在。

那么,根据毕达哥拉斯定理式c^2=a^2+b^2,任意知道两个边之间以及图形之间的关系时,就可以推算出另一边以及图形,数学可以帮助我们“看见”它们的存在。按照“毕达哥拉斯树”的发散,这样的美仿佛无处不在。

所以狄拉克说“物理定律必须有数学的美,上帝用美丽的数学创造了这个世界。”有些美不在眼,而在于数学,只要你懂得数学,就能“看见”别人看不见的美。数学中的美,有时会美到令人难以置信的程度。

例如,著名的费马猜想以千变万化而闻名。帕索斯费雷拉据说,费马猜想的原型也源于毕达哥拉斯定理。1637年,法国著名数学家费马写下“对于任意大于2的整数n,不可能有非零的整数a、b、c满足a^n+b^n=c^n。”(而我们常见的费马猜想式x^n+y^n=z^n可能是费马猜想原型的引申。)

这个费马猜想被称为世界三大数学猜想之一,曾令后世无数数学家前赴后继,殚精竭虑也想要证明它。直到358年后的1995年才由英国著名数学家怀尔斯证明成立。意味着任意整数以符合等式的条件下代入,都能得到相应的解,可谓千变万化,魅力无穷。

以致著名的理论物理学家加来道雄曾说:“毕达哥拉斯定理是所有结构的基础,这个星球上的任何结构都是以它为基础的。”就像“毕达哥拉斯树”以最基本的图形向外伸展一样,欧几里得的《几何原本》还告诉我们,毕达哥拉斯定理允许用任何相似的图形作替代,因而变化万千,美且多到难以描绘。

所以,透过毕达哥拉斯定理,才能看数学美的含义。数学之美不只是用来欣赏,也不只是用来计算,它最大的意义在于揭示了数与形之间的关系。而数与形是事物的基本属性,它们之间必然存在着某种联系,互相制约着,互相牵连着,抽象地反映着丰富多彩的现实世界的关系。这是数学研究永远的主题。

数学有多美?华罗庚认为:“就数学本身而言,是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人,只是看到了数学的严谨性,而没有体会出数学的内在美。”亲爱的读者朋友们,你体会到数学的内在美了吗?明白数学美的含义了吗?

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